Упр.362 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 362. В остроугольном треугольнике ABC отрезки CC1 и AA1 — высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка (C1 A1) проходит через середину стороны AC.

1) Рассмотрим четырёхугольник $$AC_1A_1C$$. Так как $$CC_1$$ и $$AA_1$$ — высоты, то

$$\angle AC_1C=90^\circ,\qquad \angle CA_1A=90^\circ.$$

Следовательно, точки $$A,\,C,\,A_1,\,C_1$$ лежат на одной окружности. При этом углы $$\angle AC_1C$$ и $$\angle CA_1A$$ опираются на отрезок $$AC$$, значит $$AC$$ — диаметр этой окружности.

2) В треугольнике $$A_1MC_1$$ точка $$D$$ — середина отрезка $$A_1C_1$$, а $$DM \perp A_1C_1$$. Значит, $$DM$$ — серединный перпендикуляр к $$A_1C_1$$, поэтому

$$A_1M=C_1M.$$

3) Тогда точка $$M$$ равноудалена от точек $$A_1$$ и $$C_1$$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к $$A_1C_1$$. Кроме того, из равенства $$A_1M=C_1M$$ и того, что $$A_1C_1$$ — хорда окружности, следует, что $$M$$ является её центром.

Так как $$AC$$ — диаметр этой окружности, то центр окружности лежит на середине отрезка $$AC$$. Следовательно, $$M$$ — середина стороны $$AC$$.

Что и требовалось доказать.