Упр.361 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 361. Из произвольной точки М, принадлежащей углу с вершиной А, но не принадлежащей его сторонам, проведены перпендикуляры МР и MQ к сторонам угла. Из точки А проведён перпендикуляр АК к отрезку PQ. Докажите, что угол PAK = углу MAQ.

Рассмотрим четырёхугольник $$APMQ$$. Так как $$MP \perp AP$$ и $$MQ \perp AQ$$, то

$$\angle APM=90^\circ,\qquad \angle AQM=90^\circ.$$

Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника равна $$180^\circ$$, значит, точки $$A, P, M, Q$$ лежат на одной окружности.

Тогда углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $$AQ$$, равны:

$$\angle APQ=\angle AMQ.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$APK$$ и $$AMQ$$.

В треугольнике $$APK$$, так как $$AK \perp PQ$$ и $$P,K,Q$$ лежат на одной прямой, имеем

$$\angle AKP=90^\circ,$$

поэтому

$$\angle PAK=90^\circ-\angle APK.$$

Но $$\angle APK=\angle APQ$$, так как точки $$P, K, Q$$ коллинеарны. Значит,

$$\angle PAK=90^\circ-\angle APQ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AMQ$$:

$$\angle AQM=90^\circ,$$

откуда

$$\angle MAQ=90^\circ-\angle AMQ.$$

Так как $$\angle APQ=\angle AMQ$$, то

$$\angle PAK=90^\circ-\angle APQ=90^\circ-\angle AMQ=\angle MAQ.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle PAK=\angle MAQ.$$