Упр.360 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 360. Вершины A и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р (рис. 110). Докажите, что точка С при этом перемещается по отрезку.

Подробный ответ

Рассмотрим четырёхугольник $$PACB$$. По условию $$\angle APB=90^\circ$$, а так как в треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, то $$\angle ACB=90^\circ$$. Следовательно,

$$\angle APB+\angle ACB=180^\circ.$$

Значит, точки $$P, A, C, B$$ лежат на одной окружности.

Так как $$\angle ACB=90^\circ$$, то по теореме Фалеса отрезок $$AB$$ является диаметром этой окружности.

Тогда при движении точек $$A$$ и $$B$$ по сторонам прямого угла с вершиной $$P$$ длина хорды $$AB$$ остаётся постоянной, а значит, и радиус окружности постоянен. Следовательно, положение точки $$C$$ на этой окружности определяется условием $$\angle ACB=90^\circ$$ и постоянной длиной $$AB$$.

Кроме того, точка $$C$$ всегда лежит на окружности с диаметром $$AB$$, а так как стороны прямого угла с вершиной $$P$$ фиксированы, то множество возможных положений точки $$C$$ ограничено двумя крайними положениями, соответствующими предельным положениям точек $$A$$ и $$B$$. Поэтому точка $$C$$ перемещается по отрезку.

Итак, точка $$C$$ при движении точек $$A$$ и $$B$$ по сторонам прямого угла с вершиной $$P$$ перемещается по отрезку.