Упр.359 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Вне прямоугольного треугольника $$ABC$$ на его гипотенузе $$AB$$ построен квадрат $$ABFD$$. Докажите, что угол $$ACO$$ = углу $$OCB$$, где $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата.

Рассмотрим квадрат $$ABFD$$. Его диагонали пересекаются в точке $$O$$, значит, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому

$$AO=BO,$$

а также прямая $$AO$$ лежит на диагонали квадрата, следовательно, $$AO \perp BF$$. Так как $$AB$$ — сторона квадрата, то $$AB \perp BF$$, откуда $$AO \perp AB$$. Но по условию $$\angle ACB=90^\circ$$, значит

$$\angle AOB=\angle ACB=90^\circ.$$

Следовательно, точки $$A, C, O, B$$ лежат на одной окружности.

В этой окружности равные хорды $$AO$$ и $$BO$$ стягивают равные дуги, значит, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти хорды:

$$\angle ACO=\angle OCB.$$

Что и требовалось доказать.