Упр.358 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 358. Биссектрисы МА и КВ треугольника MNK пересекаются в точке О, точки A, N, В и О лежат на одной окружности. Найдите угол N.

Рассмотрим четырёхугольник $$NBOA$$. Так как точки $$A, N, B, O$$ лежат на одной окружности, то сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle BNA+\angle BOA=180^\circ.$$

Но точки $$B, N, M$$ лежат на одной прямой, значит $$\angle BNA=\angle N$$. Тогда

$$\angle BOA=180^\circ-\angle N.$$

В треугольнике $$MNK$$ имеем:

$$\angle M+\angle N+\angle K=180^\circ,$$

откуда

$$\angle M+\angle K=180^\circ-\angle N.$$

Рассмотрим треугольник $$MOK$$. Так как $$MA$$ и $$KB$$ — биссектрисы, то

$$\angle OMK=\frac{1}{2}\angle M,\qquad \angle OKM=\frac{1}{2}\angle K.$$

Тогда

$$\angle MOK+\frac{1}{2}\angle M+\frac{1}{2}\angle K=180^\circ.$$

Умножим на $$2$$:

$$2\angle MOK+\angle M+\angle K=360^\circ.$$

Подставим $$\angle M+\angle K=180^\circ-\angle N$$:

$$2\angle MOK+180^\circ-\angle N=360^\circ,$$

$$2\angle MOK=180^\circ+\angle N,$$

$$\angle MOK=90^\circ+\frac{1}{2}\angle N.$$

Углы $$\angle BOA$$ и $$\angle MOK$$ — вертикальные, значит они равны:

$$180^\circ-\angle N=90^\circ+\frac{1}{2}\angle N.$$

Тогда

$$\frac{3}{2}\angle N=90^\circ,$$

$$\angle N=60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ$$