Упр.357 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 357. Биссектрисы ВК и СМ треугольника АВС пересекаются в точке О, угол A = 60°. Найдите угол CMK.

Подробный ответ

В треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Так как $$BK$$ и $$CM$$ — биссектрисы, то они пересекаются в точке $$O$$, а значит, $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$AO$$ тоже является биссектрисой угла $$A$$, и

$$\angle OAK=\frac{1}{2}\angle A=30^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$BOC$$. В нём

$$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle B,\qquad \angle OCB=\frac{1}{2}\angle C.$$

Тогда

$$\angle BOC+\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle C=180^\circ,$$

то есть

$$2\angle BOC+\angle B+\angle C=360^\circ.$$

Подставим $$\angle B+\angle C=120^\circ$$:

$$2\angle BOC+120^\circ=360^\circ,$$

$$2\angle BOC=240^\circ,$$

$$\angle BOC=120^\circ.$$

Вертикальные углы равны, значит

$$\angle MOK=\angle BOC=120^\circ.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$AMOK$$. В нём

$$\angle OAK+\angle AMK+\angle MOK+\angle OKA=360^\circ.$$

Так как точки $$A, K, C$$ лежат на одной прямой, а лучи $$KA$$ и $$KC$$ противоположны, то угол при точке $$K$$ в нужном треугольнике равен соответствующему углу между биссектрисами. Из равенства углов в треугольнике с центром вписанной окружности получаем

$$\angle OMK=\angle OAK=30^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle CMK=\angle OMK=30^\circ.$$