Упр.356 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 356. Из произвольной точки О, которая принадлежит острому углу А, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры ОВ и ОС на его стороны. Докажите, что угол OAB = углу OCB.

Подробный ответ

Рассмотрим четырёхугольник $$COBA$$. По условию $$OB \perp AB$$ и $$OC \perp AC$$, значит

$$\angle OBA = 90^\circ,\qquad \angle OCA = 90^\circ.$$

Следовательно, противоположные углы четырёхугольника $$COBA$$ в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ.$$

Значит, точки $$O, B, A, C$$ лежат на одной окружности.

В одной окружности вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $$OB$$, равны. Поэтому

$$\angle OAB = \angle OCB.$$

Что и требовалось доказать.