Упр.356 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Из произвольной точки $$O$$, которая принадлежит острому углу $$A$$, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры $$OB$$ и $$OC$$ на его стороны. Докажите, что $$\angle OAB=\angle OCB$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$COBA$$. По условию $$OB \perp AB$$ и $$OC \perp AC$$, значит

$$\angle OBA = 90^\circ,\qquad \angle OCA = 90^\circ.$$

Следовательно, противоположные углы четырёхугольника $$COBA$$ в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ.$$

Значит, точки $$O, B, A, C$$ лежат на одной окружности.

В одной окружности вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $$OB$$, равны. Поэтому

$$\angle OAB = \angle OCB.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle OAB = \angle OCB.$$