Упр.355 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Из произвольной точки $$M$$ катета $$AC$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ опущен перпендикуляр $$MK$$ на гипотенузу $$AB$$. Докажите, что $$\angle MKC = \angle MBC$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$CMKB$$.

Так как $$M \in AC$$, а $$AC \perp BC$$, то $$MC \perp BC$$, значит

$$\angle MCB=90^\circ.$$

По условию $$MK \perp AB$$, а точки $$K$$ и $$B$$ лежат на прямой $$AB$$, следовательно

$$\angle MKB=90^\circ.$$

Итак, в четырёхугольнике $$CMKB$$ сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle MCB+\angle MKB=180^\circ.$$

Значит, точки $$C, M, K, B$$ лежат на одной окружности.

Тогда вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $$MC$$, равны:

$$\angle MKC=\angle MBC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle MKC=\angle MBC.$$