Упр.353 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 353. Диагональ трапеции, вписанной в окружность, равна d. Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 120°. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, вписанная в окружность, а $$EF$$ — её средняя линия. Тогда $$EF=\frac12(AD+BC)$$.

Так как боковая сторона $$AB$$ видна из центра описанной окружности под углом $$120^\circ$$, то соответствующая дуга $$AB$$ равна $$120^\circ$$. Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эту дугу, равны половине дуги:

$$\angle ADB=\angle ACB=\frac12\cdot 120^\circ=60^\circ.$$

В трапеции, вписанной в окружность, она равнобедренная, значит $$AB=CD$$, а также $$\angle A=\angle D$$ и $$\angle B=\angle C$$.

Рассмотрим треугольник $$AHD$$, где $$H$$ — точка пересечения диагоналей. Из равенства соответствующих отрезков получаем $$AH=DH$$, а угол при вершине равен $$60^\circ$$. Значит, $$\triangle AHD$$ равносторонний, поэтому

$$AD=AH.$$

Аналогично, в треугольнике $$BHC$$ имеем $$BH=CH$$ и $$\angle BCH=60^\circ$$, следовательно, $$\triangle BHC$$ равносторонний, откуда

$$BC=CH.$$

Тогда

$$EF=\frac12(AD+BC)=\frac12(AH+CH)=\frac12\,AC.$$

По условию $$AC=d$$, значит

$$EF=\frac d2.$$

Ответ

$$\frac d2$$