Упр.352 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 352. Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Так как центр описанной окружности $$O$$ лежит на большем основании $$AD$$, то прямая $$AD$$ проходит через центр окружности, значит, $$AD$$ — диаметр.

Тогда дуга $$AD$$ равна $$180^\circ$$. По условию $$AB=BC=CD$$, значит, равны и соответствующие дуги:

$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}.$$

Сумма дуг верхней полуокружности равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}=180^\circ,$$

откуда

$$3\overset{\frown}{CD}=180^\circ,\qquad \overset{\frown}{CD}=60^\circ.$$

Тогда вписанный угол, опирающийся на дугу $$CD$$, равен

$$\angle DAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CD}=30^\circ.$$

Аналогично

$$\angle BAC=\angle CBD=30^\circ.$$

Поскольку $$AD$$ — диаметр, то вписанный угол, опирающийся на него, равен $$90^\circ$$:

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}=90^\circ.$$

В трапеции $$ABCD$$ основания параллельны, поэтому углы при каждой боковой стороне дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle D=180^\circ,\qquad \angle B+\angle C=180^\circ.$$

Найдём углы трапеции:

$$\angle A=\angle BAC+\angle DAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ,$$

$$\angle B=\angle ABD+\angle CBD=90^\circ+30^\circ=120^\circ.$$

Тогда

$$\angle D=180^\circ-\angle A=120^\circ,$$

$$\angle C=180^\circ-\angle B=60^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=60^\circ,\ \angle B=120^\circ,\ \angle C=60^\circ,\ \angle D=120^\circ.$$