Упр.351 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 351. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите радиус вписанной окружности, если периметр трапеции равен 54 см.

Подробный ответ

Обозначим радиус вписанной окружности через $$R$$. Тогда расстояния от центра окружности до сторон трапеции, к которым проведены перпендикуляры, равны $$R$$.

Так как окружность вписана в трапецию, то отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны. Поэтому

$$BF=BE=3,\qquad AH=AE=12.$$

Большая боковая сторона трапеции равна

$$AB=AE+BE=12+3=15.$$

В прямоугольной трапеции высота равна сумме двух радиусов, то есть

$$FH=2R.$$

Кроме того, в четырёхугольнике $$FCDH$$ углы при вершинах $$F$$, $$C$$, $$D$$ и $$H$$ прямые, значит, это прямоугольник. Следовательно,

$$CD=FH=2R.$$

Теперь запишем периметр трапеции:

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD.$$

Сторона $$BC$$ состоит из отрезков $$BF$$ и $$FC$$, а сторона $$AD$$ — из отрезков $$AH$$ и $$HD$$. При этом в прямоугольнике $$FCDH$$ имеем $$FC=DH$$, поэтому

$$BC=BF+FC=3+FC,$$

$$AD=AH+HD=12+DH.$$

Тогда

$$P_{ABCD}=15+(3+FC)+2R+(12+DH).$$

Так как $$FC=DH$$, получаем

$$54=15+3+12+2R+2FC+2R,$$

$$54=30+4R.$$

Отсюда

$$4R=24,\qquad R=6.$$