Упр.350 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 350. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр данной трапеции, если радиус вписанной окружности равен 20 см.

Подробный ответ

Пусть окружность касается сторон трапеции в точках $E$, $F$, $G$, $H$.

Так как радиус вписанной окружности равен $20$ см, то

$$OE=OF=OH=20.$$

Следовательно,

$$FH=FO+OH=20+20=40.$$

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

$$BE=BF=8,$$

$$AE=AH=50.$$

Кроме того, из одной точки $C$ касательные к окружности равны, значит

$$CG=CF,$$

а из одной точки $D$:

$$DG=DH.$$

Тогда

$$CD=CG+GD=CF+DH.$$

В четырёхугольнике $FCDH$ углы при вершинах $F$, $C$, $D$, $H$ прямые, так как $OF \perp BC$, $OH \perp AD$, а по условию $\angle C=\angle D=90^\circ$. Значит, $FCDH$ — прямоугольник, поэтому

$$CD=FH=40.$$

Теперь найдём периметр трапеции:

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD.$$

С учётом разбиения сторон на отрезки имеем:

$$AB=AE+BE=50+8=58,$$

$$BC=BF+FC=8+CF,$$

$$AD=AH+HD=50+DH.$$

Но $CF+DH=CD=40$, значит

$$BC+AD=(8+CF)+(50+DH)=58+40=98.$$

Тогда

$$P_{ABCD}=58+40+98=196.$$