Упр.35 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Белая плоскость произвольно забрызгана чёрной краской. Докажите, что на плоскости найдётся отрезок длиной $$1\ \text{м}$$, концы которого закрашены либо белой, либо чёрной краской.

Подробный ответ

Построим на плоскости произвольный равносторонний треугольник со стороной $$1\text{ м}$$.

Каждая его вершина может быть либо закрашена чёрной краской, либо остаться белой. Так как вершин всего три, то по принципу Дирихле среди них найдутся хотя бы две вершины одного цвета.

Соединим эти две вершины. Полученный отрезок является стороной равностороннего треугольника, значит его длина равна $$1\text{ м}$$. Его концы закрашены одним и тем же цветом — либо оба белые, либо оба чёрные.

Следовательно, на плоскости найдётся отрезок длиной $$1\text{ м}$$, концы которого закрашены либо белой, либо чёрной краской.