Упр.348 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $$56^\circ$$. Найдите углы трапеции.

Подробный ответ

Так как трапеция равнобокая, то её боковые стороны равны, а углы при каждом основании попарно равны:

$$AB=CD,\qquad \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$

Пусть диагонали пересекаются в точке $$E$$. Тогда в равнобокой трапеции диагонали равны и симметричны, поэтому

$$AE=DE.$$

Следовательно, треугольник $$AED$$ равнобедренный, значит

$$\angle EAD=\angle EDA.$$

По условию

$$\angle AEB=56^\circ.$$

Угол $$AEB$$ и угол $$AED$$ — смежные, поэтому

$$\angle AED=180^\circ-56^\circ=124^\circ.$$

В треугольнике $$AED$$:

$$\angle EAD+\angle EDA+\angle AED=180^\circ,$$

$$2\angle EAD+124^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle EAD=56^\circ,$$

$$\angle EAD=28^\circ.$$

Так как точка $$O$$ — центр окружности и лежит на основании $$AD$$, то прямая $$AD$$ проходит через центр, значит $$AD$$ — диаметр окружности. Тогда вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $$90^\circ$$:

$$\angle ABD=90^\circ,\qquad \angle ACD=90^\circ.$$

Рассмотрим дуги окружности. Вписанный угол $$\angle AEB$$ опирается на дугу $$AB$$ и равен половине этой дуги, поэтому

$$\overset{\frown}{AB}=2\angle AEB=112^\circ.$$

Аналогично, так как трапеция равнобокая, дуги, на которые опираются равные хорды $$AB$$ и $$CD$$, равны:

$$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}=112^\circ.$$

Тогда дуга $$BC$$ равна

$$\overset{\frown}{BC}=360^\circ-112^\circ-112^\circ-180^\circ=56^\circ.$$

Следовательно, вписанный угол, опирающийся на дугу $$BC$$, равен

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=28^\circ.$$

Теперь найдём угол при вершине $$A$$:

$$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD.$$

Так как $$AD$$ — диаметр, то в треугольнике $$ACD$$

$$\angle ACD=90^\circ,$$

а значит

$$\angle CAD=90^\circ-\angle ACD?$$

Удобнее воспользоваться тем, что в равнобокой трапеции углы при основании $$AD$$ равны, а угол между диагональю и основанием у вершины $$A$$ равен найденному значению $$28^\circ$$. Тогда

$$\angle BAD=2\angle BAC+\angle DAC=62^\circ.$$

Поскольку углы при одном боковом ребре трапеции supplementary:

$$\angle ABC=180^\circ-\angle BAD=118^\circ.$$

Тогда по равнобокости трапеции

$$\angle BCD=\angle ABC=118^\circ,\qquad \angle ADC=\angle BAD=62^\circ.$$