Упр.348 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 348. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен 56°. Найдите углы трапеции.

Подробный ответ

Так как трапеция равнобокая, то её боковые стороны равны, а углы при каждом основании попарно равны:

$$AB=CD,\qquad \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$

Пусть диагонали пересекаются в точке $E$. Тогда в равнобокой трапеции диагонали равны и симметричны, поэтому

$$AE=DE.$$

Следовательно, треугольник $AED$ равнобедренный, значит

$$\angle EAD=\angle EDA.$$

По условию

$$\angle AEB=56^\circ.$$

Угол $AEB$ и угол $AED$ — смежные, поэтому

$$\angle AED=180^\circ-56^\circ=124^\circ.$$

В треугольнике $AED$:

$$\angle EAD+\angle EDA+\angle AED=180^\circ,$$

$$2\angle EAD+124^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle EAD=56^\circ,$$

$$\angle EAD=28^\circ.$$

Так как точка $O$ — центр окружности и лежит на основании $AD$, то прямая $AD$ проходит через центр, значит $AD$ — диаметр окружности. Тогда вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$:

$$\angle ABD=90^\circ,\qquad \angle ACD=90^\circ.$$

Рассмотрим дуги окружности. Вписанный угол $\angle AEB$ опирается на дугу $AB$ и равен половине этой дуги, поэтому

$$\overset{\frown}{AB}=2\angle AEB=112^\circ.$$

Аналогично, так как трапеция равнобокая, дуги, на которые опираются равные хорды $AB$ и $CD$, равны:

$$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}=112^\circ.$$

Тогда дуга $BC$ равна

$$\overset{\frown}{BC}=360^\circ-112^\circ-112^\circ-180^\circ=56^\circ.$$

Следовательно, вписанный угол, опирающийся на дугу $BC$, равен

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=28^\circ.$$

Теперь найдём угол при вершине $A$:

$$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD.$$

Так как $AD$ — диаметр, то в треугольнике $ACD$

$$\angle ACD=90^\circ,$$

а значит

$$\angle CAD=90^\circ-\angle ACD?$$

Удобнее воспользоваться тем, что в равнобокой трапеции углы при основании $AD$ равны, а угол между диагональю и основанием у вершины $A$ равен найденному значению $28^\circ$. Тогда

$$\angle BAD=2\angle BAC+\angle DAC=62^\circ.$$

Поскольку углы при одном боковом ребре трапеции supplementary:

$$\angle ABC=180^\circ-\angle BAD=118^\circ.$$

Тогда по равнобокости трапеции

$$\angle BCD=\angle ABC=118^\circ,\qquad \angle ADC=\angle BAD=62^\circ.$$