Упр.347 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 347. Найдите углы четырёхугольника MNKP, вписанного в окружность, если угол MKP = 58°, угол MPN = 34°, угол КМР= 16°.

Так как четырёхугольник $$MNKP$$ вписан в окружность, то его противоположные углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$.

Из условия $$\angle MPN=34^\circ$$, значит вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$MN$$, равны:

$$\angle NKM=\angle MPN=34^\circ.$$

Тогда

$$\angle NKP=\angle NKM+\angle MKP=34^\circ+58^\circ=92^\circ.$$

В вписанном четырёхугольнике

$$\angle NMP+\angle NKP=180^\circ,$$

следовательно,

$$\angle NMP=180^\circ-92^\circ=88^\circ.$$

Теперь найдём угол $$\angle NMK$$:

$$\angle NMK=\angle NMP-\angle KMP=88^\circ-16^\circ=72^\circ.$$

Углы $$\angle NMK$$ и $$\angle NPK$$ опираются на одну и ту же дугу $$NK$$, значит

$$\angle NPK=\angle NMK=72^\circ.$$

Тогда

$$\angle KPM=\angle NPK+\angle MPN=72^\circ+34^\circ=106^\circ.$$

И, наконец, в вписанном четырёхугольнике

$$\angle MNK+\angle KPM=180^\circ,$$

откуда

$$\angle MNK=180^\circ-106^\circ=74^\circ.$$

Ответ

$$\angle NMP=88^\circ,\ \angle MNK=74^\circ,\ \angle NKP=92^\circ,\ \angle KPM=106^\circ.$$