Упр.346 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 346. Сторона AD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около него, угол ABC = 108°, угол BCD = 132°. Найдите углы BAD, ADC, CAD, BDA.

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$.

Тогда

$$\angle BAD+\angle BCD=180^\circ,$$

$$\angle BAD+132^\circ=180^\circ,$$

откуда

$$\angle BAD=48^\circ.$$

Аналогично

$$\angle ADC+\angle ABC=180^\circ,$$

$$\angle ADC+108^\circ=180^\circ,$$

следовательно,

$$\angle ADC=72^\circ.$$

Так как $$AD$$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит,

$$\angle ACD=90^\circ.$$

В треугольнике $$ACD$$ имеем

$$\angle CAD=180^\circ-\angle ADC-\angle ACD=180^\circ-72^\circ-90^\circ=18^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. В нём

$$\angle BDA=180^\circ-\angle BAD-\angle ABD.$$

Но угол $$\angle ABD$$ опирается на дугу $$AD$$, а значит, равен половине этой дуги. Поскольку $$AD$$ — диаметр, дуга $$AD$$ равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle ABD=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle BDA=180^\circ-48^\circ-90^\circ=42^\circ.$$

Можно также заметить, что в треугольнике $$ABD$$ угол при вершине $$B$$ прямой, так как он опирается на диаметр $$AD$$.

Ответ

$$\angle BAD=48^\circ,\ \angle ADC=72^\circ,\ \angle CAD=18^\circ,\ \angle BDA=42^\circ.$$