Упр.345 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, около которого можно описать окружность.

В ромбе противоположные углы равны:

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D.$$

Так как около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$

Но $$\angle A=\angle C$$, значит

$$\angle A+\angle A=180^\circ,$$

откуда

$$2\angle A=180^\circ,\qquad \angle A=90^\circ.$$

Аналогично

$$\angle B=90^\circ.$$

Следовательно, все углы ромба прямые:

$$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$

Значит, данный ромб является квадратом.

Ответ

Если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.