Упр.344 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 344. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом.

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник. Тогда у него противоположные стороны равны:

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

Если в прямоугольник можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Подставим равенства сторон прямоугольника:

$$AB+AB=BC+BC.$$

Отсюда

$$2AB=2BC,$$

значит,

$$AB=BC.$$

Но в прямоугольнике $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, поэтому получаем:

$$AB=BC=CD=AD.$$

Следовательно, все стороны прямоугольника равны, а значит, этот прямоугольник является квадратом.

Ответ

Если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.