Упр.343 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 343. Один из углов ромба равен 60°, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данный ромб.

Подробный ответ

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются и делят друг друга пополам, значит точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, поэтому

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 24=12.$$

В ромбе диагональ $$AC$$ биссектрисa угла $$A$$, следовательно

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$

Так как $$OE\perp AB$$, то в треугольнике $$AEO$$ угол $$\angle AEO=90^\circ$$, а

$$\angle OAE=\angle BAC=30^\circ.$$

Значит, треугольник $$AEO$$ — прямоугольный с углом $$30^\circ$$, поэтому катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$OE=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}\cdot 12=6.$$