Упр.342 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности?

Пусть окружность вписана в трапецию $$ABCD$$, а её центр — точка $$O$$. Тогда $$AO$$ и $$BO$$ являются биссектрисами углов $$A$$ и $$B$$ соответственно.

Так как $$ABCD$$ — трапеция, то суммы односторонних углов при боковой стороне равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. В нём

$$\angle BAO=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle ABO=\frac{1}{2}\angle B.$$

По сумме углов треугольника:

$$\angle BAO+\angle AOB+\angle ABO=180^\circ$$
$$\frac{1}{2}\angle A+\angle AOB+\frac{1}{2}\angle B=180^\circ$$
$$\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)+\angle AOB=180^\circ$$
$$\frac{1}{2}\cdot 180^\circ+\angle AOB=180^\circ$$
$$90^\circ+\angle AOB=180^\circ$$
$$\angle AOB=90^\circ.$$

Ответ

$$90^\circ$$