Упр.340 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 340. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Какая точка является центром окружности, вписанной в ромб?

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Так как все его стороны равны, то

$$AB=BC=CD=DA.$$

Следовательно,

$$AB+CD=BC+DA.$$

Для четырёхугольника, у которого суммы длин противоположных сторон равны, можно вписать окружность. Значит, в любой ромб можно вписать окружность.

Кроме того, в ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Поэтому точка их пересечения равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной окружности.

Итак, центр вписанной окружности в ромбе — точка пересечения его диагоналей.

Ответ

В любой ромб можно вписать окружность. Центр этой окружности — точка пересечения диагоналей ромба.