Упр.336 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник $$ABCD$$, если его стороны $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$AD$$ соответственно пропорциональны числам: 1) $$7, 8, 12, 11$$; 2) $$7, 12, 8, 11$$?

Для того чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противоположных сторон были равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

1) Пусть одна часть равна $$x$$. Тогда

$$AB=7x,\quad BC=8x,\quad CD=12x,\quad AD=11x.$$

Сравним суммы противоположных сторон:

$$AB+CD=7x+12x=19x,$$

$$BC+AD=8x+11x=19x.$$

Получаем:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Значит, окружность можно вписать.

2) Пусть одна часть равна $$x$$. Тогда

$$AB=7x,\quad BC=12x,\quad CD=8x,\quad AD=11x.$$

Сравним суммы противоположных сторон:

$$AB+CD=7x+8x=15x,$$

$$BC+AD=12x+11x=23x.$$

Так как

$$AB+CD\ne BC+AD,$$

то окружность вписать нельзя.

Ответ

1) Да. 2) Нет.