Упр.335 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 335. В прямоугольнике ABCD известно, что АВ = 12 см, угол CAD = 30°. Найдите радиус окружности, описанной около данного прямоугольника.

В прямоугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны равны, значит $$CD=AB=12$$, а $$\angle D=90^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC$$. По условию $$\angle CAD=30^\circ$$, поэтому в треугольнике с углом $$30^\circ$$ противолежащий катет равен половине гипотенузы:

$$CD=\frac{1}{2}AC.$$

Тогда

$$AC=2CD=2\cdot 12=24.$$

Окружность, описанная около прямоугольника, проходит через все его вершины, а её центр находится в точке пересечения диагоналей. Следовательно, диагональ $$AC$$ является диаметром этой окружности, значит радиус равен половине диагонали:

$$R=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 24=12.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$