Упр.331 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 331. Можно ли описать окружность около четырёхугольника АВCD, если его углы А, В, С и D соответственно пропорциональны числам: 1) 3, 8, 11, 6; 2) 4, 5, 4, 2?

Подробный ответ

Для четырёхугольника, около которого можно описать окружность, суммы противоположных углов должны быть равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$

1) Пусть одна часть равна $$x$$. Тогда

$$\angle A=3x,\quad \angle B=8x,\quad \angle C=11x,\quad \angle D=6x.$$

Сложим противоположные углы:

$$\angle A+\angle C=3x+11x=14x,$$

$$\angle B+\angle D=8x+6x=14x.$$

Так как суммы противоположных углов равны, то каждая из них равна $$180^\circ$$. Значит, окружность около четырёхугольника описать можно.

2) Пусть одна часть равна $$x$$. Тогда

$$\angle A=4x,\quad \angle B=5x,\quad \angle C=4x,\quad \angle D=2x.$$

Сложим противоположные углы:

$$\angle A+\angle C=4x+4x=8x,$$

$$\angle B+\angle D=5x+2x=7x.$$

Эти суммы не равны, значит, противоположные углы не могут быть одновременно по $$180^\circ$$. Следовательно, окружность около четырёхугольника описать нельзя.