Упр.329 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 329. Начертите произвольный квадрат. Впишите в него окружность и опишите около него окружность.
Пусть дан квадрат $$ABCD$$. Проведём его диагонали $$AC$$ и $$BD$$; они пересекаются в точке $$O$$.
Так как квадрат является ромбом и прямоугольником, то его диагонали:
- пересекаются и делятся пополам;
- перпендикулярны;
- являются биссектрисами углов квадрата.
Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех сторон квадрата, значит, окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом, равным расстоянию от $$O$$ до любой стороны квадрата, касается всех четырёх сторон. Это и есть вписанная окружность.
Кроме того, так как диагонали квадрата пересекаются в одной точке и эта точка равноудалена от всех его вершин, окружность с центром в $$O$$ и радиусом $$OA$$ проходит через все вершины квадрата. Это описанная около квадрата окружность.
Итак, чтобы выполнить построение, достаточно:
- начертить квадрат;
- провести его диагонали и найти точку их пересечения $$O$$;
- с центром в $$O$$ и радиусом до стороны квадрата провести вписанную окружность;
- с тем же центром $$O$$ и радиусом до вершины квадрата провести описанную окружность.
Ответ
В квадрате центр вписанной и описанной окружностей совпадает — это точка пересечения диагоналей квадрата.