Упр.328 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 328. Начертите равнобокую трапецию с большим основанием 6 см, боковой стороной 4 см и углом 60°. Впишите в неё окружность.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — равнобокая трапеция, где $$AD$$ — большее основание, $$AD=6\text{ см}$$, $$AB=CD=4\text{ см}$$, $$\angle DAB=60^\circ$$.

Так как трапеция равнобокая, то углы при большем основании равны, значит

$$\angle CDA=60^\circ.$$

Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры на основание $$AD$$. Тогда горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна

$$4\cos 60^\circ=2\text{ см}.$$

Следовательно, верхнее основание трапеции равно

$$BC=AD-2-2=6-4=2\text{ см}.$$

Чтобы в трапецию можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны:

$$AB+CD=AD+BC.$$

Проверим:

$$4+4=6+2,$$

то есть

$$8=8.$$

Условие выполнено, значит в трапецию можно вписать окружность.

Построение: начертим отрезок $$AD=6\text{ см}$$, в точках $$A$$ и $$D$$ отложим углы по $$60^\circ$$ к основанию и на их лучах отметим точки $$B$$ и $$C$$ так, чтобы $$AB=CD=4\text{ см}$$. Соединим $$B$$ и $$C$$. Получим равнобокую трапецию, в которую можно вписать окружность.