Упр.325 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 325. Клетки квадрата размером 100 x 100 клеток раскрашены в шахматном порядке. Квадрат разрезали на квадраты, стороны которых содержат нечётное количество клеток, и в каждом таком квадрате отметили центральную клетку. Докажите, что белых и чёрных клеток отмечено поровну.

Подробный ответ

Рассмотрим для каждого квадрата разность $$S_б-S_ч,$$ где $$S_б$$ — число белых клеток, а $$S_ч$$ — число чёрных клеток.

Для исходного квадрата $$100\times 100$$ имеем $$S_б=S_ч,$$ значит, $$S_б-S_ч=0.$$

Теперь рассмотрим любой из полученных квадратов, сторона которого содержит нечётное число клеток. В таком квадрате центральная клетка определяет цвет всего квадрата по сравнению с шахматной раскраской:

если центральная клетка белая, то белых клеток на одну больше, чем чёрных, то есть $$S_б-S_ч=1;$$
если центральная клетка чёрная, то чёрных клеток на одну больше, чем белых, то есть $$S_б-S_ч=-1.$$

Сложим значения $$S_б-S_ч$$ по всем вырезанным квадратам. Так как они полностью заполняют исходный квадрат, сумма должна быть равна разности числа белых и чёрных клеток всего исходного квадрата, то есть $$0.$$

Но каждый квадрат с белой центральной клеткой даёт вклад $$1,$$ а каждый квадрат с чёрной центральной клеткой — вклад $$-1.$$ Чтобы сумма была равна нулю, таких квадратов должно быть поровну.

Следовательно, белых и чёрных центральных клеток отмечено поровну.