Упр.324 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 324. Установите вид треугольника, у которого центр описанной окружности принадлежит медиане.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ центр описанной окружности $$O$$ лежит на медиане $$BM$$.

Рассмотрим два случая.

1) $$O \notin AC$$.

Так как центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде $$AC$$, а точка $$O$$ находится на медиане $$BM$$, то прямая $$BM$$ совпадает с серединным перпендикуляром к $$AC$$. Значит,

$$BM \perp AC,\qquad AM=CM.$$

Следовательно, $$BM$$ одновременно является и медианой, и высотой треугольника $$ABC$$. Тогда $$AB=BC$$, то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

2) $$O \in AC$$.

Тогда хорда $$AC$$ проходит через центр окружности, значит, $$AC$$ — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому

$$\angle ABC=90^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Итак, треугольник с центром описанной окружности на медиане может быть либо равнобедренным, либо прямоугольным.