Упр.323 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 323. К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные (рис. 102). Периметры треугольников, которые эти касательные отсекают от данного треугольника, равны P1, P2 и P3. Найдите периметр треугольника АВС.

Подробный ответ

Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника $$ABC$$ — это $$D$$, $$E$$ и $$F$$. Тогда из одной точки к окружности проведены равные касательные:

$$AI=AG,\quad JE=JD,\quad LF=LD,\quad TF=TH,\quad NK=NH,\quad PG=PK.$$

Рассмотрим три треугольника, которые отсекают проведённые касательные.

Для треугольника $$PAI$$ его периметр равен

$$P_1=PA+AI+PI.$$

Для треугольника $$JBL$$ имеем

$$P_2=BJ+BL+JL.$$

Для треугольника $$TCN$$ получаем

$$P_3=CT+CN+TN.$$

Теперь найдём периметр треугольника $$ABC$$:

$$ \begin{aligned} P_{ABC} &= AB+BC+CA \\ &= (AP+PI+IB) + (BJ+JL+LC) + (CT+TN+NA). \end{aligned} $$

С учётом равенств касательных от одной точки:

$$PI=PG+GI,\quad JL=JE+EL,\quad NA=NK+KA,$$

и аналогичных равенств для остальных отрезков, получаем, что весь периметр треугольника $$ABC$$ складывается из периметров трёх отсечённых треугольников:

$$P_{ABC}=P_1+P_2+P_3.$$