Упр.322 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Периметр треугольника $$ABC$$ равен $$30\text{ см}$$. Точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$ делит её в отношении $$3:2$$, считая от вершины $$A$$, а точка касания со стороной $$BC$$ удалена от вершины $$C$$ на $$5\text{ см}$$. Найдите стороны треугольника.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника $$ABC$$ через $$E$$, $$F$$, $$K$$.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$AE=AK,\quad BE=BF,\quad CF=CK.$$

По условию $$AE:BE=3:2,$$ значит

$$AE=\frac{3}{2}BE.$$

Также дано $$CF=5\text{ см}.$$

Периметр треугольника равен $$30$$ см, поэтому

$$AB+BC+AC=30.$$

Но

$$AB=AE+BE,\quad BC=BF+CF=BE+CF,\quad AC=AK+CK=AE+CF.$$

Тогда

$$AB+BC+AC=(AE+BE)+(BE+CF)+(AE+CF)=2AE+2BE+2CF=30,$$

откуда

$$AE+BE+CF=15.$$

Подставим $$AE=\frac{3}{2}BE$$ и $$CF=5$$:

$$\frac{3}{2}BE+BE+5=15,$$

$$\frac{5}{2}BE=10,$$

$$BE=4\text{ см}.$$

Тогда

$$AE=\frac{3}{2}\cdot 4=6\text{ см}.$$

Теперь найдём стороны треугольника:

$$AB=AE+BE=6+4=10\text{ см},$$

$$BC=BF+CF=4+5=9\text{ см},$$

$$AC=AK+CK=AE+CF=6+5=11\text{ см}.$$

Ответ

$$AB=10\text{ см},\quad BC=9\text{ см},\quad AC=11\text{ см}.$$