Упр.320 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 320. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и радиусу вписанной окружности.

Подробный ответ

Пусть дано: сторона $$AB$$, противолежащий ей угол $$\angle O$$ и радиус вписанной окружности $$r$$.

Построим сначала отрезок $$MN$$, равный данному отрезку $$AB$$.

От луча $$MN$$ отложим угол, равный $$\angle O$$. Построим биссектрису этого угла и обозначим точку её пересечения с прямой $$MN$$ через $$H$$. Тогда $$H$$ — центр вписанной окружности искомого треугольника, а расстояние от $$H$$ до сторон угла равно радиусу $$r$$.

На стороне угла отметим точку $$P$$, а затем построим серединный перпендикуляр к отрезку $$MP$$. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с биссектрисой угла через $$R$$. Тогда из точки $$R$$ можно провести окружность, проходящую через точки $$M$$, $$P$$ и $$N$$.

На прямой $$HP$$ отложим отрезок $$HG=r$$. Через точку $$G$$ проведём перпендикуляр к прямой $$HP$$ и отметим точку $$S$$ на пересечении этого перпендикуляра с окружностью.

Теперь от луча $$MS$$ отложим угол, равный $$\angle SMN$$, а от луча $$NS$$ — угол, равный $$\angle SNM$$. Точку пересечения полученных сторон обозначим через $$K$$. Тогда треугольник $$MNK$$ искомый.

Построение основано на том, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, а расстояние от центра до стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности.