Упр.318 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Биссектрисы углов $$A$$, $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ пересекают описанную около него окружность в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ соответственно. Докажите, что $$A_1B_1 \perp CC_1$$.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения биссектрисы $$CC_1$$ с окружностью через $$C_1$$, а точку пересечения биссектрис $$AA_1$$ и $$BB_1$$ с окружностью — через $$A_1$$ и $$B_1$$.

Рассмотрим угол $$\angle C_1DB_1$$, где $$D$$ — точка пересечения хорд $$A_1B_1$$ и $$CC_1$$.

По свойству угла между хордами, пересекающимися внутри окружности, имеем:

$$\angle C_1DB_1=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{C_1A_1}+\overset{\frown}{B_1C_1}\right).$$

Так как $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ лежат на окружности, а $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$ — биссектрисы углов треугольника $$ABC$$, то соответствующие дуги выражаются через углы треугольника:

$$\overset{\frown}{C_1A_1}=2\angle C,\qquad \overset{\frown}{B_1C_1}=2\angle B,\qquad \overset{\frown}{A_1B_1}=2\angle A.$$

Тогда

$$\angle C_1DB_1=\frac{1}{2}\left(\angle C+\angle B+\angle A\right).$$

Но в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

значит

$$\angle C_1DB_1=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Следовательно, $$A_1B_1 \perp CC_1$$.