Упр.317 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 317. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную около него окружность в точке D. Точка О — центр вписанной окружности треугольника АВС. Докажите, что DO = DB = DC.
Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то
$$\angle BAD=\angle CAD.$$
Поскольку $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, то $$O\in AD$$ и
$$\angle BCO=\angle ACO.$$
Рассмотрим углы, опирающиеся на дуги окружности, описанной около треугольника $$ABC$$:
$$\angle DCB=\frac12\overset{\frown}{DB}=\angle DAB,$$
$$\angle DBC=\frac12\overset{\frown}{CD}=\angle DAC.$$
Так как $$\angle DAB=\angle DAC=\frac12\angle A,$$ то
$$\angle DCB=\angle DBC=\frac12\angle A.$$
Следовательно, треугольник $$BDC$$ равнобедренный, значит
$$BD=CD.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$AOC$$:
$$\angle OAC+\angle OCA+\angle AOC=180^\circ.$$
Так как $$\angle OAC=\frac12\angle A$$ и $$\angle OCA=\frac12\angle C,$$ получаем
$$\angle AOC=180^\circ-\frac12(\angle A+\angle C).$$
В треугольнике $$DOC$$ имеем
$$\angle DOC=180^\circ-\angle AOC=\frac12(\angle A+\angle C).$$
С другой стороны,
$$\angle DCO=\angle DCB+\angle BCO=\frac12\angle A+\frac12\angle C=\frac12(\angle A+\angle C).$$
Значит, $$\angle DOC=\angle DCO,$$ поэтому треугольник $$DOC$$ равнобедренный, и
$$DO=DC.$$
Так как уже доказано, что $$BD=CD,$$ то
$$DO=DB=DC.$$
Ответ
$$DO=DB=DC.$$