Упр.316 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Дан отрезок $$\mathrm{АВ}$$. Найдите геометрическое место точек $$X$$ таких, что треугольник $$\mathrm{АХВ}$$ — прямоугольный.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Проведём окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$.

Докажем, что любая точка $$X$$ этой окружности, лежащая на перпендикуляре к $$AB$$, даёт прямоугольный треугольник $$AXB$$.

Так как $$O$$ — середина $$AB$$, то $$OA=OB$$. Кроме того, если $$X$$ лежит на окружности с центром $$O$$, то $$OX=OA=OB$$. Значит, точка $$O$$ равноудалена от точек $$A$$, $$B$$ и $$X$$, то есть является центром описанной окружности треугольника $$AXB$$.

Если центр описанной окружности треугольника лежит на стороне $$AB$$, то эта сторона является диаметром окружности, а угол, опирающийся на диаметр, прямой. Следовательно, $$\angle AXB=90^\circ$$.

Обратно, если треугольник $$AXB$$ прямоугольный, то его гипотенуза $$AB$$ является диаметром описанной окружности. Значит, центр этой окружности — середина отрезка $$AB$$, то есть точка $$O$$, а точка $$X$$ должна лежать на окружности с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$.

Итак, геометрическое место точек $$X$$ — окружность с диаметром $$AB$$, без точек $$A$$ и $$B$$. Если требуется учитывать только точки, для которых треугольник не вырождается, то это вся окружность, кроме концов диаметра.