Упр.313 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 313. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведённой к данной стороне.

Подробный ответ

Обозначим данную сторону треугольника через $$AB$$, а медиану, проведённую к ней, — через $$m$$.

1) Построим отрезок $$MN$$, равный данному отрезку $$AB$$.

2) От луча $$MN$$ отложим угол, равный $$90^\circ-\frac12\angle O$$, где $$\angle O$$ — данный угол треугольника, противолежащий стороне $$AB$$.

3) Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$MN$$. Обозначим точку его пересечения с прямой, содержащей сторону угла, через $$H$$.

4) Через точку $$H$$ проведём прямую, параллельную $$MN$$, и отметим на ней точку $$P$$ так, чтобы $$HP$$ была равна половине медианы, то есть $$HP=\frac{m}{2}$$.

5) Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$MP$$ и обозначим точку пересечения двух серединных перпендикуляров через $$R$$.

6) Из точки $$R$$ проведём окружность, проходящую через точки $$M$$ и $$P$$.

7) Из точки $$H$$ проведём окружность радиуса, равного длине медианы $$m$$. Точку пересечения этой окружности с построенной ранее окружностью обозначим через $$K$$.

8) Соединим точки $$K$$ с $$M$$ и $$N$$. Тогда треугольник $$MKN$$ — искомый.

Действительно, $$MN=AB$$ по построению, угол при вершине $$K$$ равен данному углу, а точка $$H$$ является серединой стороны $$MN$$, поэтому $$KH$$ — медиана. Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.