Упр.310 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 310. К окружности, описанной около треугольника АВС, проведена в точке В касательная, пересекающая прямую АС в точке D. Отрезок ВМ — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что BD = MD.

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника $$ABC$$. По теореме о касательной и хорде

$$\angle DBA=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\angle BCA.$$

Так как $$BM$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABM=\angle MBC=\frac{1}{2}\angle ABC.$$

Рассмотрим треугольник $$BMC$$. Угол $$AMB$$ — внешний, поэтому

$$\angle AMB=\angle CBM+\angle BCM.$$

Но $$\angle CBM=\frac{1}{2}\angle ABC$$, а $$\angle BCM=\angle BCA=\angle DBA$$. Значит,

$$\angle AMB=\frac{1}{2}\angle ABC+\angle DBA.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DBM$$. Угол $$MBD$$ равен сумме углов $$MBA$$ и $$DBA$$:

$$\angle MBD=\angle MBA+\angle DBA.$$

Так как $$\angle MBA=\frac{1}{2}\angle ABC$$, получаем

$$\angle MBD=\frac{1}{2}\angle ABC+\angle DBA.$$

Следовательно,

$$\angle MBD=\angle BMD.$$

Значит, треугольник $$DBM$$ равнобедренный, и его боковые стороны равны:

$$BD=MD.$$

Ответ

$$BD=MD$$