Упр.310 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- К окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, проведена в точке $$B$$ касательная, пересекающая прямую $$AC$$ в точке $$D$$. Отрезок $$BM$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$BD=MD$$.
Рассмотрим окружность, описанную около треугольника $$ABC$$. По теореме о касательной и хорде
$$\angle DBA=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\angle BCA.$$
Так как $$BM$$ — биссектриса угла $$B$$, то
$$\angle ABM=\angle MBC=\frac{1}{2}\angle ABC.$$
Рассмотрим треугольник $$BMC$$. Угол $$AMB$$ — внешний, поэтому
$$\angle AMB=\angle CBM+\angle BCM.$$
Но $$\angle CBM=\frac{1}{2}\angle ABC$$, а $$\angle BCM=\angle BCA=\angle DBA$$. Значит,
$$\angle AMB=\frac{1}{2}\angle ABC+\angle DBA.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$DBM$$. Угол $$MBD$$ равен сумме углов $$MBA$$ и $$DBA$$:
$$\angle MBD=\angle MBA+\angle DBA.$$
Так как $$\angle MBA=\frac{1}{2}\angle ABC$$, получаем
$$\angle MBD=\frac{1}{2}\angle ABC+\angle DBA.$$
Следовательно,
$$\angle MBD=\angle BMD.$$
Значит, треугольник $$DBM$$ равнобедренный, и его боковые стороны равны:
$$BD=MD.$$
Ответ
$$BD=MD$$
