Упр.309 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 309. Две окружности имеют единственную общую точку М. Через точку М проведены две прямые, пересекающие данные окружности. Точки их пересечения с окружностями, отличные от точки М, соединены хордами. Докажите, что эти хорды параллельны.

Проведём через точку $$M$$ общую касательную $$EF$$ к обеим окружностям.

Рассмотрим окружность с хордой $$AB$$. По теореме о касательной и хорде имеем:

$$\angle AME=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AM}=\angle ABM.$$

Аналогично для окружности с хордой $$CD$$:

$$\angle DMF=\frac{1}{2}\overset{\frown}{MD}=\angle DCM.$$

Так как прямые, содержащие хорды $$AB$$ и $$CD$$, пересекаются в точке $$M$$, то углы $$\angle AME$$ и $$\angle DMF$$ — вертикальные, значит,

$$\angle AME=\angle DMF.$$

Следовательно,

$$\angle ABM=\angle DCM.$$

Эти углы являются накрест лежащими при секущей $$BC$$, значит,

$$AB \parallel CD.$$

Ответ

$$AB \parallel CD.$$