Упр.308 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Дана окружность, в которой проведён диаметр $$AB$$, и отмечена точка $$C$$ вне окружности (рис. 100). Как, пользуясь только линейкой, провести через точку $$C$$ прямую, перпендикулярную прямой $$AB$$?

Подробный ответ

Проведём через точку $$C$$ две секущие к окружности: одну через точки $$C$$ и $$A$$, другую через точки $$C$$ и $$B$$. Обозначим:

$$B’ = AC \cap \text{окружность}, \qquad A’ = BC \cap \text{окружность}.$$

Тогда хорды $$AB’$$ и $$BA’$$ соединяют концы диаметра $$AB$$ с точками окружности. Построим прямые $$AA’$$ и $$BB’$$ и обозначим их точку пересечения через $$D$$.

Покажем, что прямая $$CD$$ перпендикулярна $$AB$$. Действительно, точки $$A, B, A’, B’$$ лежат на одной окружности, поэтому углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Из этого следует, что точки $$C$$ и $$D$$ расположены так, что прямая $$CD$$ является осью симметрии для соответствующих секущих, а значит, проходит через середину хорды, перпендикулярной диаметру $$AB$$.

Следовательно, искомая прямая — это прямая, проходящая через точки $$C$$ и $$D$$.

Ответ

Провести через точку $$C$$ прямую $$CD$$, где $$D = AA’ \cap BB’$$, а $$A’ \in BC$$, $$B’ \in AC$$ — точки пересечения этих прямых с окружностью. Тогда $$CD \perp AB$$.