Упр.305 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Вершины квадрата $$ABCD$$ лежат на окружности. На дуге $$AB$$ отмечена произвольная точка $$M$$. Докажите, что $$\angle AMD=\angle CMD=\angle CMB$$.

Рассмотрим квадрат $$ABCD$$, вписанный в окружность. Тогда равные стороны квадрата стягивают равные хорды этой окружности:

$$AB=BC=CD=DA,$$

значит, равны и соответствующие дуги:

$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}.$$

Точка $$M$$ лежит на дуге $$AB$$. Тогда вписанные углы $$\angle AMD$$, $$\angle CMD$$ и $$\angle CMB$$ опираются соответственно на дуги $$\overset{\frown}{AD}$$, $$\overset{\frown}{CD}$$ и $$\overset{\frown}{CB}$$.

Так как эти дуги равны, то равны и вписанные углы, опирающиеся на них:

$$\angle AMD=\angle CMD=\angle CMB.$$

Ответ

$$\angle AMD=\angle CMD=\angle CMB.$$