Упр.303 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 303. Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, пересекает сторону АВ в точке К так, что угол АСК = углу ВСК. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Подробный ответ

Рассмотрим окружность, построенную на стороне $$AC$$ как на диаметре. Тогда дуга $$AC$$ равна $$180^\circ$$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $$90^\circ$$. Значит,

$$\angle AKC=90^\circ.$$

Так как точка $$K$$ лежит на стороне $$AB$$, то лучи $$AK$$ и $$AB$$ совпадают, поэтому

$$\angle ACK=\angle BCK.$$

Следовательно, прямая $$CK$$ делит угол $$\angle ACB$$ пополам, то есть $$CK$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$.

Кроме того, $$CK \perp AB$$, значит, $$CK$$ является высотой треугольника $$ABC$$.

Если в треугольнике одна и та же прямая является и биссектрисой, и высотой, проведённой из вершины к основанию, то треугольник равнобедренный. Следовательно,

$$AB=BC.$$

Значит, $$\triangle ABC$$ — равнобедренный.