Упр.302 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Окружность, построенная на стороне $$АВ$$ треугольника $$АВС$$ как на диаметре, пересекает стороны $$АС$$ и $$ВС$$ в точках $$М$$ и $$К$$ соответственно. Докажите, что отрезки $$АК$$ и $$ВМ$$ — высоты треугольника $$АВС$$.

Рассмотрим окружность, построенную на отрезке $$AB$$ как на диаметре. Тогда дуга $$AB$$ равна $$180^\circ$$.

Точка $$K$$ лежит на окружности, значит вписанный угол $$\angle AKB$$ опирается на диаметр $$AB$$. Следовательно,

$$\angle AKB=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Так как точки $$B$$ и $$K$$ лежат на стороне $$BC$$, то прямая $$BK$$ совпадает с прямой $$BC$$. Значит, $$AK \perp BC$$, то есть $$AK$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Аналогично, точка $$M$$ лежит на окружности, поэтому вписанный угол $$\angle AMB$$, опирающийся на диаметр $$AB$$, равен

$$\angle AMB=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Поскольку точки $$A$$ и $$M$$ лежат на стороне $$AC$$, прямая $$AM$$ совпадает с прямой $$AC$$. Следовательно, $$BM \perp AC$$, то есть $$BM$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Ответ

$$AK$$ и $$BM$$ — высоты треугольника $$ABC$$.