Упр.302 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 302. Окружность, построенная на стороне АВ треугольника АВС как на диаметре, пересекает стороны АС и ВС в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезки АК и ВМ — высоты треугольника АВС.

Подробный ответ

Рассмотрим окружность, построенную на отрезке $$AB$$ как на диаметре. Тогда дуга $$AB$$ равна $$180^\circ$$.

Точка $$K$$ лежит на окружности, значит вписанный угол $$\angle AKB$$ опирается на диаметр $$AB$$. Следовательно,

$$\angle AKB=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Так как точки $$B$$ и $$K$$ лежат на стороне $$BC$$, то прямая $$BK$$ совпадает с прямой $$BC$$. Значит, $$AK \perp BC$$, то есть $$AK$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Аналогично, точка $$M$$ лежит на окружности, поэтому вписанный угол $$\angle AMB$$, опирающийся на диаметр $$AB$$, равен

$$\angle AMB=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Поскольку точки $$A$$ и $$M$$ лежат на стороне $$AC$$, прямая $$AM$$ совпадает с прямой $$AC$$. Следовательно, $$BM \perp AC$$, то есть $$BM$$ — высота треугольника $$ABC$$.