Упр.301 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

На дуге $$AC$$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $$ABC$$, отмечена точка $$M$$ так, что $$\overset{\frown}{AM}=2\overset{\frown}{CM}$$. Найдите углы треугольника $$AMC$$.

Так как треугольник $$ABC$$ равносторонний, то

$$\angle ABC=60^\circ.$$

Точки $$A, B, C, M$$ лежат на одной окружности. Угол $$\angle ABC$$ опирается на дугу $$AC$$, не содержащую точку $$B$$, то есть на дугу $$AMC$$. Поэтому

$$\overset{\frown}{AMC}=2\angle ABC=120^\circ.$$

По условию

$$\overset{\frown}{AM}=2\overset{\frown}{CM}.$$

Пусть $$\overset{\frown}{CM}=x$$, тогда $$\overset{\frown}{AM}=2x$$, а

$$\overset{\frown}{AMC}=\overset{\frown}{AM}+\overset{\frown}{CM}=3x=120^\circ.$$

Отсюда

$$x=40^\circ,$$

значит,

$$\overset{\frown}{CM}=40^\circ,\qquad \overset{\frown}{AM}=80^\circ.$$

Теперь найдём углы треугольника $$AMC$$ как вписанные углы, опирающиеся на соответствующие дуги:

$$\angle CAM=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CM}=20^\circ,$$

$$\angle ACM=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AM}=40^\circ,$$

$$\angle AMC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{ABC}=\frac{1}{2}(360^\circ-80^\circ-40^\circ)=120^\circ.$$

Проверка: $$20^\circ+40^\circ+120^\circ=180^\circ.$$

Ответ

$$\angle CAM=20^\circ,\ \angle ACM=40^\circ,\ \angle AMC=120^\circ.$$