Упр.300 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 300. Биссектриса угла В треугольника АВС пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке D. Найдите углы треугольника ADC, если угол АВС = 80°.

Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности, то противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle ADC+\angle ABC=180^\circ.$$

При $$\angle ABC=80^\circ$$ получаем

$$\angle ADC=180^\circ-80^\circ=100^\circ.$$

Поскольку $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ.$$

Углы $$\angle ABD$$ и $$\angle ACD$$ опираются на одну и ту же дугу $$AD$$, значит они равны:

$$\angle ACD=\angle ABD=40^\circ.$$

Аналогично, углы $$\angle CBD$$ и $$\angle CAD$$ опираются на одну и ту же дугу $$CD$$, поэтому

$$\angle CAD=\angle CBD=40^\circ.$$

Ответ

$$\angle ADC=100^\circ,\ \angle ACD=40^\circ,\ \angle CAD=40^\circ.$$