Упр.299 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Через точку A, лежащую вне окружности с центром в точке O, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке B, а вторая проходит через её центр (рис. 99). Известно, что $$\angle BMC = 100^\circ$$. Найдите угол $$\angle BAC$$.

Так как точки $$B$$ и $$M$$ лежат на окружности, а $$O$$ — её центр, то центральный угол $$\angle BOC$$ опирается на дугу $$BC$$ и равен вписанному углу, стягивающему ту же дугу:

$$\angle BOC=\angle BMC=100^\circ.$$

Прямая $$AB$$ — касательная к окружности в точке $$B$$, значит радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

$$OB\perp AB.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, поэтому лучи $$OA$$ и $$OC$$ — противоположные. Тогда

$$\angle BOA=180^\circ-\angle BOC=180^\circ-100^\circ=80^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ сумма острых углов равна $$90^\circ$$:

$$\angle BOA+\angle BAO=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle BAC=\angle BAO=90^\circ-80^\circ=10^\circ.$$

Ответ

$$10^\circ$$