Упр.298 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M (рис. 98). Докажите, что $$\angle AMC=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BD}\right).$$

Подробный ответ

Рассмотрим окружность. Тогда вписанные углы, опирающиеся на дуги $$AC$$ и $$BD$$, равны половинам соответствующих дуг:

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC},$$

$$\angle BCD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}.$$

Так как точки $$A, B, M$$ лежат на одной прямой, то угол $$\angle ABC$$ является внешним углом треугольника $$BMC$$. Поэтому

$$\angle ABC=\angle BCM+\angle BMC.$$

Отсюда

$$\angle BMC=\angle ABC-\angle BCM.$$

Но $$\angle BCM=\angle BCD$$, так как точки $$C, D, M$$ лежат на одной прямой. Значит,

$$\angle BMC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}-\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}.$$

Поскольку лучи $$MA$$ и $$MB$$ совпадают, а лучи $$MC$$ и $$MB$$ образуют угол $$\angle BMC$$, получаем

$$\angle AMC=\angle BMC.$$