Упр.297 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 297. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М (рис. 97). Докажите, что угол AMC = 1/2 (uAC + uBD).

Рассмотрим окружность. Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на окружности, то вписанные углы, опирающиеся на соответствующие дуги, равны половине этих дуг:

$$\angle BCD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}, \qquad \angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BMC$$. Угол $$\angle AMC$$ является внешним углом этого треугольника, поэтому

$$\angle AMC=\angle MBC+\angle MCB.$$

Но лучи $$BM$$ и $$BA$$ совпадают, а лучи $$CM$$ и $$CD$$ совпадают, значит

$$\angle MBC=\angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC},$$

$$\angle MCB=\angle BCD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}.$$

Тогда

$$\angle AMC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}\right).$$

Что и требовалось доказать.