Упр.294 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1) Определите вид четырёхугольника ABCD.
2) Найдите uAB, uBC, uCD и uAD, если угол ABD = 80°.

Так как $$AC$$ и $$BD$$ — диаметры одной окружности, то точки $$A, B, C, D$$ лежат на окружности, а $$O$$ — её центр.

Угол $$\angle ABC$$ опирается на диаметр $$AC$$, значит

$$\angle ABC=90^\circ.$$

Аналогично, угол $$\angle BCD$$ опирается на диаметр $$BD$$, поэтому

$$\angle BCD=90^\circ.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$ABCD$$ есть прямые углы, а противоположные стороны попарно параллельны, значит $$ABCD$$ — прямоугольник.

Теперь найдём дуги. Вписанный угол $$\angle ABD$$ опирается на дугу $$AD$$, поэтому

$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot 80^\circ=160^\circ.$$

Так как противоположные дуги, соответствующие равным хордам прямоугольника, равны, то

$$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=160^\circ,$$

$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}.$$

Сумма всех дуг окружности равна $$360^\circ$$, значит

$$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD}=360^\circ,$$

$$\overset{\frown}{AB}+160^\circ+\overset{\frown}{AB}+160^\circ=360^\circ,$$

$$2\overset{\frown}{AB}=40^\circ,$$

$$\overset{\frown}{AB}=20^\circ.$$

Тогда

$$\overset{\frown}{CD}=20^\circ,\qquad \overset{\frown}{BC}=160^\circ,\qquad \overset{\frown}{AD}=160^\circ.$$

Ответ

$$ABCD$$ — прямоугольник; $$\overset{\frown}{AB}=20^\circ,\ \overset{\frown}{BC}=160^\circ,\ \overset{\frown}{CD}=20^\circ,\ \overset{\frown}{AD}=160^\circ.$$