Упр.293 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- Вершины равнобедренного треугольника $$ABC$$ ($$AB=BC$$) делят описанную около него окружность на три дуги, причём дуга $$AB=70^\circ$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный и $$AB=BC$$, то его углы при основании равны:
$$\angle BAC=\angle BCA.$$
Рассмотрим дуги окружности, на которые вершины треугольника делят окружность. Из условия $$\overset{\frown}{AB}=70^\circ$$. Поскольку хорды $$AB$$ и $$BC$$ равны, то равны и соответствующие им дуги:
$$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}=70^\circ.$$
Сумма всех дуг окружности равна $$360^\circ$$, значит
$$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}=360^\circ,$$
$$70^\circ+70^\circ+\overset{\frown}{AC}=360^\circ,$$
$$\overset{\frown}{AC}=220^\circ.$$
Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается. Тогда
$$\angle A=\angle BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\cdot 70^\circ=35^\circ,$$
$$\angle B=\angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}\cdot 220^\circ=110^\circ.$$
Так как углы при основании равны, то
$$\angle C=\angle BCA=35^\circ.$$
Ответ
$$35^\circ,\ 110^\circ,\ 35^\circ.$$
