Упр.293 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 293. Вершины равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) делят описанную около него окружность на три дуги, причём uАВ = 70°. Найдите углы треугольника АВС.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный и $$AB=BC$$, то его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Рассмотрим дуги окружности, на которые вершины треугольника делят окружность. Из условия $$\overset{\frown}{AB}=70^\circ$$. Поскольку хорды $$AB$$ и $$BC$$ равны, то равны и соответствующие им дуги:

$$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}=70^\circ.$$

Сумма всех дуг окружности равна $$360^\circ$$, значит

$$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}=360^\circ,$$

$$70^\circ+70^\circ+\overset{\frown}{AC}=360^\circ,$$

$$\overset{\frown}{AC}=220^\circ.$$

Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается. Тогда

$$\angle A=\angle BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\cdot 70^\circ=35^\circ,$$

$$\angle B=\angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}\cdot 220^\circ=110^\circ.$$

Так как углы при основании равны, то

$$\angle C=\angle BCA=35^\circ.$$