Упр.292 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 292. Точки А, В и С делят окружность на три дуги так, что uAB : uBC : uAC = 1 : 2 : 3. Найдите углы треугольника АВС.

Подробный ответ

Пусть дуги окружности $$\overset{\frown}{AB} : \overset{\frown}{BC} : \overset{\frown}{AC} = 1 : 2 : 3.$$ Обозначим $$\overset{\frown}{AB}=x,$$ тогда $$\overset{\frown}{BC}=2x,$$ $$\overset{\frown}{AC}=3x.$$

Сумма всех дуг окружности равна $$360^\circ$$, значит

$$x+2x+3x=360^\circ,$$
$$6x=360^\circ,$$
$$x=60^\circ.$$

Тогда

$$\overset{\frown}{AB}=60^\circ,\quad \overset{\frown}{BC}=120^\circ,\quad \overset{\frown}{AC}=180^\circ.$$

Вписанный угол равен половине соответствующей дуги, на которую он опирается:

$$\angle A=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ,$$

$$\angle B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ,$$

$$\angle C=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$