Упр.290 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 290. Хорды АВ и CD равны (рис. 96). Докажите, что uАМВ = uCND.

1) Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности с центром $$O$$, то

$$OA=OB=OC=OD=R.$$

2) Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. В них

$$OA=OC,$$
$$OB=OD,$$
$$AB=CD$$

по условию. Значит, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по третьему признаку равенства треугольников.

Отсюда

$$\angle AOB=\angle COD.$$

3) Углы $$\angle AMB$$ и $$\angle CND$$ — вписанные, опирающиеся соответственно на дуги $$AB$$ и $$CD$$. Поэтому

$$\angle AMB=\angle AOB,$$
$$\angle CND=\angle COD.$$

Так как $$\angle AOB=\angle COD,$$ то

$$\angle AMB=\angle CND.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle AMB=\angle CND.$$